Cuisine : polyèdre des ingrédients et enveloppe convexe

Ma cuisine a récemment rejoint ma liste de lieux de découverte et d'émerveillement montpelliérains (après mon labo, ma médiathèque, mon ordinateur, ma salle de concerts et mes cinémas). Pas besoin de tenter d'audacieuses expériences de gastronomie moléculaire pour être fasciné par de simples changements de forme, de couleur et de texture. Que d'émotions à expérimenter la cuisson mutationnelle des choux au Comté, le durcissement de mes fameuses meringues-radiateur, ou une simple montée de blancs en neige au fouet ! Alors rassurez-vous, ce blog ne va pas s'aventurer sur la paillasse d'un chimiste, je ne parlerai ni du pourquoi ni comment ça marche, mais seulement du jusqu'à quel point ça marche ?Rien de plus affirmatif qu'une recette de cuisine : on vous fournit une liste d'ingrédients avec des quantités bien précises, et leur mode d'emploi. Si vous déviez à peine des instructions, aucune garantie, et avec une précision des ingrédients au centigramme, prenez garde que moelleux fondant "merde-j'ai-pu-qu'-deux-oeufs" Marmiton au chocolat ne se transforme en galette compacte.
Heureusement, ce blog va apporter une contribution révolutionnaire pour tous les auteurs de recettes de cuisine : le polyèdre des ingrédients ! Et en bonus une méthode pour le calculer artisanalement à partir d'un corpus de plusieurs recettes du plat que vous voulez, trouvées sur le net par exemple. Illustration du jour : les crêpes ! (oui, je sais, j'aurais dû écrire ce billet il y a 54 jours mais j'ai totalement renoncé à publier à temps mes billets d'actualité...)

Ce qu'il y a de bien dans les crêpes, c'est que ça se fait avec en gros trois ingrédients (plus un pour la poële, qui ne compte pas), ça va donc nous permettre d'obtenir une jolie image en 3D. Des oeufs, de la farine, et du lait, voilà le dénominateur commun aux 19 recettes que j'ai réunies (dans ce fichier tableur) grâce aux sites lejus.com, 1001delices.net, recette-crepe.net, goosto.fr, supertoinette.com, recettes.qc.ca et Marmiton (désolé pour mes amis végétaliens). Mais peut-être va-t-on commencer avec seulement deux ingrédients pour bien comprendre. Disons que l'on a déjà décidé du nombre d'oeufs à utiliser, un seul par exemple. On calcule alors selon toutes les recettes, par une règle de trois, la quantité x de lait et y de farine qu'on doit ajouter (j'ai tout codé en grammes pour simplifier). On peut alors placer sur un graphique cette vingtaine de points de coordonnées (x,y) obtenus :

En bas à gauche se trouvent les recettes avec beaucoup d'oeufs (puisqu'il y a peu de farine et de lait), en haut à droite avec peu d'oeufs. En haut à gauche, plus de farine, en bas à droite, plus de lait. Qu'est-ce donc que cette sorte d'élastique orange qui se resserre autour des points ainsi dessinés ? C'est une sorte de zone de sécurité : tout point de cette zone correspond à un choix d'ingrédients qui devraient fonctionner, puisqu'il se situe "entre" des choix de quantités d'ingrédients qui fonctionnent. En mathématiques, on appelle ça l'enveloppe convexe de l'ensemble de ces points, et il existe des algorithmes variés pour la calculer automatiquement. Alors évidemment, pour ne prendre aucun risque il vaudra mieux cibler bien au milieu de cette enveloppe, vous pouvez d'ailleurs remarquer que 3 recettes présentent les mêmes quantités des trois ingrédients principaux, cela correspond à un point assez central (1/2 litre de lait et 250 grammes de farine pour 3 oeufs).

Autre enseignement de cette enveloppe convexe, on peut en déduire des informations sur la précaution à mesurer chaque ingrédient (la robustesse de la recette en fonction de chaque paramètre en gros). Remarquez combien l'enveloppe convexe est allongée et étroite (elle le serait encore plus si j'avais choisi une échelle verticale et horizontale identiques). Cela signifie que selon les recettes la quantité d'oeufs varie pas mal, mais la proportion lait/farine beaucoup moins. On peut d'ailleurs comparer pour chaque recette ses proportions par rapport aux proportions moyennes :

Et si l'on fait la moyenne de ces pourcentages de variation en valeur absolue, on obtient : 16% pour le rapport lait/farine, 28% pour le rapport farine/oeufs, 31% pour le rapport lait/oeufs. Ainsi le rapport lait/farine varie beaucoup moins que les autres parmi les recettes, il faudra donc être plus méticuleux dans ces proportions que pour le nombre d'oeufs, par rapport à la variation duquel la recette des crêpes est donc plutôt robuste (désolé pour cette structure de phrase alambiquée, mais ça me donne l'occasion de faire un joli accord de pronom relatif).

Vous pouvez aussi vous amuser à représenter sur un même graphique plusieurs desserts ayant les mêmes ingrédients principaux, ici les crêpes, les gaufres et le flan :
Attention tout de même avant de verser votre pâte à crêpes dans le gaufrier ou les ramequins au four, il y a aussi un peu d'huile et de levure dans la préparation à gaufres, et de sucre dans celle du flan.

Pour finir, passons au polyèdre 3D des ingrédients grâce à la très jolie applet Java de Tim Lambert (dont il distribue en plus de code source que j'ai modifié pour y mettre mes points de crêpes), vous pouvez agir avec la souris pour contrôler le polyèdre et le faire bouger :


Sorry, but you need Java to see the animation.

Là encore c'est une enveloppe convexe qui est calculée, en 3 dimensions, sur des points de coordonnées (x,y,z) avec cette fois le nombre d'oeufs en x, la quantité de lait en y, et de farine en z. Je place les points en fixant le nombre d'oeufs à une limite minimum et une limite maximum pour obtenir ce joli tronc de cône, tel que toute coupe perpendiculaire à l'axe x (à nombre d'oeufs constant) me donne bien le polygone d'enveloppe convexe de même forme que ci-dessus. Et pour le rendre vraiment utilisable il faudrait pouvoir laisser entrer à l'utilisateur les valeurs de quantités d'ingrédients qu'il a lui-même utilisées : si le point arrive à l'intérieur du polyèdre, tout va bien, sinon... gare à la recette loupée !

Eh bien il me reste maintenant à attendre le prochain livre de cuisine ou pâtisserie (ou site web) qui accompagnera ses recettes de polygones ou polyèdres d'ingrédients, bizarrement je crois que je devrai faire preuve d'un peu de patience. Encore que... Il y a bien des geeks qui ont programmé un moteur de recherche de recettes de cuisine à partir des ingrédients sur cuistot.org !


Mise à jour en soirée : il me semble naturel que si deux points correspondant à des quantités d'ingrédients fonctionnent pour une recette, alors tout le segment entre ces deux points fait aussi fonctionner la recette, mais certains lecteurs que je ne nommerai pas n'en sont pas convaincus. Tout contrexemple, ou toute théorie alternative quant à la structure, dans l'ensemble à multidimensionnel des ingrédients, des ensembles de points permettant de préparer avec succès un certain plat, sera le bienvenu ! Ce défi du contrexemple est doté d'un prix : une invitation à le déguster (ou bien, si je suis de bonne humeur, à déguster plutôt une des deux extrémités, qui fonctionnent, du segment).

McDonald's, MacDo, Mac Donalds, et Voronoï

Je suis allé manger indien cette semaine (en fait c'était il y a 3 semaines. Mais bon, c'est juste une phrase introductive, hein, et on écrit pas, dans un blog, j'ai fait ceci-cela il y a 3 semaines...). Un Indian Maharadja et ses saveurs envoûtantes. Eh oui, Mac Do a encore frappé pour se démarquer un peu de la concurrence, agrémentant ces nouvelles recettes temporaires de petites vidéos publicitaires sur le net.

Mais MacDo ce n'est pas seulement ça. C'est aussi une chaîne qui arrive toujours à se placer dans les coins les plus chics/pratiques de nos villes françaises j'ai récemment profité du délicieux McDonald's du centre-ville narbonnais, ainsi que de celui très pratiquement situé juste en face de la gare à Montpellier). Qui nous impressionne quand on suit le ballet efficace des serveurs. Qui nous enchante avec son wifi gratuit (enfin faut pas pousser, on nous demande gentiment de ranger notre ordi s'il y a trop de monde). Et qui nous surprend avec son coin café dans le resto de l'avenue des Champs Elysées aux prix défiant toute concurrence aux environs.

Avec tant d'avantages, on comprend que connaître en permanence le McDo le plus proche est une nécessité. Surtout à Paris. Voilà donc le diagramme de Voronoï (la précision n'est pas excessive, hein) des restaurants Mc Donald's à Paris (les points rouges) :

Evidemment, comme j'ai été un peu large sur la précision, les distances sont les simples distances à vol d'oiseau, et j'ai utilisé l'applet Java de Paul Chew (ainsi qu'une technique de "décalquage";)). On pourrait s'amuser à le recalculer en utilisant comme distances celles vraiment parcourues à pied à travers les rues de Paris.

J'ai ajouté quelques repères en vert pour situer un peu les restaurants, et les couleurs d'arrière-plan correspondent bien sûr aux arrondissements. J'aurais bien aimé inclure une carte satellite en fond pour en faire une jolie version imprimable utile. Mais pour des raisons de droit d'auteur, je laisse les heureux possesseurs de Microsoft PowerPoint >97 ouvrir ce fichier source du diagramme de Voronoï des McDo, et coller en arrière-plan la bonne carte Google de Paris dont ils auront préalablement fait une copie d'écran, puis la redimensionner un peu pour qu'elle colle au dessin.

Le diagramme a une autre application, prédire où les prochains Mac Donald's risquent d'être implantés à Paris. En effet, il est préférable de les mettre dans des grandes alvéoles de Voronoï, si possible sur une des frontières, ou mieux, à un point où elles sont concourantes. Je prédis donc que McDonald's achètera prochainement les Invalides, le Palais de l'Elysée, la Bibliothèque François Mitterrand...

Pour finir sur Mc Do, une petite remarque sur les formes orthographiques de la marque. Déjà vous remarquez que la société a pris soin de référencer plusieurs formes en les incluant comme mots-clés de sa page d'accueil, comme on peut le voir dans les résultats Google :
McDonald's France, restauration rapide
... plan des restaurants, offres d’emploi, offres de stage, fondation Ronald McDonald, Mac Donald, Mc Donald, McDonald, Mac Donald’s, Mac Donalds, Mc Do ...www.mcdonalds.fr/

Et si on compare les diverses formes (entourées de guillemets bien entendus) par rapport au nombre de résultats dans Google ou Yahoo, ainsi que les résultats limités aux pages françaises, on apprend... que l'abréviation McDo (ou Mc Do, ou Mac Do ou MacDo) est typiquement hexagonale ! Je vous laisse apprécier le joli camembert couronné exécuté dans OpenOffice (mon pauvre Microsoft Office 97 n'arrive pas à le faire, ça...) :