Mathématiques des papillotes (2/2) Carambars

La question du nombre de blagues Carambar était restée sans réponse à la fin de l'épisode 1 de mon étude du nombre de citations de papillotes. El Jj s'y est collé sur son blog Choux romanesco, vache qui rit et intégrales curvilignes. De mon côté j'ai également fini de recueillir les blagues (séquences reconstituées ci-contre) de 3 paquets de Carambar qui traînaient depuis un an (j'en suis visiblement moins friand que des papillotes...), qui me permettent d'apporter quelques nouvelles précisions sur les obstacles à l'application de la "méthodologie-papillotes" à l'estimation du nombre de blagues Carambars, et de proposer des méthodes alternatives. J'avais évoqué ces deux problèmes, et El Jj mentionne également dans son billet, en les négligeant toutefois pour le calcul :

• certaines blagues sont plus longues que d'autres
• certaines blagues sont présentes avec des doublons, c'est-à-dire qu'elles apparaissent à plusieurs endroits dans la "chaîne de blagues" (entourées de blagues voisines différentes)

A cause de ces deux phénomènes, toutes les blagues ne sont pas équiprobables. Une remarque sur les données permet de se débarrasser du second problème : en regardant attentivement les emballages, on se rend compte que le recto coïncide toujours avec le verso. Je m'explique : si l'on tombe deux fois sur la même blague au recto, le verso, visible par transparence, est toujours calé au même niveau vertical... sauf quand la blague apparaît en doublon (avec un voisinage différent) ! Ainsi, si l'on trouve une blague en double avec un calage vertical différent pour les motifs au verso, on peut les considérer comme des blagues différentes lors du calcul. Ces doublons sont indiqués par les cadres de couleur dans le scan des séquences de blagues.

Quant aux autres méthodes d'estimation de tailles d'une population (de blagues), je les dois à Cécile qui m'a indiqué celle de la capture-recapture, aussi appelée mark-recapture en anglais (comme quoi une mi-temps d'Uruguay-Allemagne peut aussi être scientifiquement enrichissante). Elle est basée sur l'indice de Lincoln-Petersen, le second l'ayant utilisée en 1894 sur des poissons, et le premier en 1930 sur des oiseaux. Elle consiste à capturer M animaux, à les marquer puis à les relâcher. S'il y a un total de N animaux dans le périmètre choisi, et que chaque animal a la même probabilité d'être capturé, on a une probabilité de M/N de recapturer un animal marqué. Ainsi, si l'on effectue une seconde capture de n animaux, on s'attend à en obtenir nM/N marqués. En appelant m le nombre d'animaux marqués effectivement recapturés, on s'attend donc à avoir m=nM/N, et donc on estime le nombre total d'animaux à nM/m (indice de Lincoln-Petersen).

Appliquons la méthode sur les blagues Carambar, en prenant par exemple M=10. Mangez assez de Carambar pour trouver 10 blagues différentes. Mangez alors n Carambars et comptez ceux dont la blague associée faisait partie des 10 choisies au départ. Vous vous attendez à obtenir m=nx10/N, et donc le nombre estimé de blagues différentes est 10n/m.

Ce cours sur la biodiversité évoque également, page 6, une estimation du nombre d'espèces par une détermination graphique de l'asymptote de la courbe qui indique le nombre total d'espèces observées en fonction du temps d'observation. L'avantage est que pour cette méthode il n'y a pas besoin de faire d'hypothèse sur l'équiprobabilité d'observer chaque espèce, contrairement à celles présentées précédemment. Toutefois elle semble peu précise, et très dépendante du modèle de régression choisi. Quant à l'application aux Carambars, il suffit de l'utiliser sur la courbe du nombre total de blagues trouvées en fonction du nombre de Carambars mangés (en rouge sur la diapo 17 ici).

Vous voilà prêts à faire vos estimations avec ces méthodes, en évaluer la fiabilité (m'indiquer de la littérature sur le sujet ?), ou en proposer d'autres... A vous de jouer !

Le billet d'El Jj : ¡ Ay, Carambar !

Le premier billet de la série : Mathématiques des papillotes (1/2)
Un article du Monde suite à la blague du retrait des blagues Carambar : Nos petites madeleines